相机标定是机器视觉领域的基础性技术，其核心目标是建立三维世界坐标系与二维图像坐标系之间的几何映射关系，从而为图像测量、三维重建、目标跟踪等任务提供准确的数学基础。本文将从标定的基本原理、数学模型、主流方法、实践流程、误差分析及未来趋势等方面展开系统性论述，并结合实际应用案例与前沿研究进展，全面解析这一技术的核心内涵。
一、相机标定的定义与意义
1.1 什么是相机标定？
相机标定（Camera Calibration）是指通过实验或算法手段确定相机的内部参数（如焦距、主点坐标、畸变系数）和外部参数（如旋转矩阵、平移向量）的过程。这些参数共同描述了相机的成像模型，使得三维空间中的物体能够被准确投影到二维图像平面上。
1.2 标定的核心意义
几何映射关系的建立：标定解决了“像素如何对应物理尺寸”的问题，例如在工业检测中，标定后的系统可通过图像直接计算工件的实际尺寸。畸变校正：真实镜头存在径向畸变（桶形、枕形）和切向畸变（梯形），标定可消除图像变形，提升测量精度。多传感器协同：在双目视觉或激光雷达-相机融合系统中，标定确定不同传感器间的坐标系转换关系，确保数据一致性。
二、相机成像模型与参数体系
2.1 坐标系转换链
相机成像过程涉及四个坐标系：
世界坐标系（World Coordinate System）：描述物体在真实空间中的绝对位置。相机坐标系（Camera Coordinate System）：以相机光心为原点，光轴为Z轴。图像坐标系（Image Coordinate System）：以光轴与成像平面的交点为原点，单位为毫米。像素坐标系（Pixel Coordinate System）：以图像左上角为原点，单位为像素。
2.2 内参与外参矩阵
内参矩阵（Intrinsic Matrix）：
$$ K = \begin{bmatrix} f_x & \gamma & u_0 \ 0 & f_y & v_0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
其中，
其中，
其中，f_x, f_y
为焦距（像素单位），
为焦距（像素单位），
为焦距（像素单位），u_0, v_0
为主点坐标，
为主点坐标，
为主点坐标，\gamma$$为轴间倾斜系数（通常为0）。
外参矩阵（Extrinsic Matrix）： 由旋转矩阵
R
R
R和平移向量
T
T
T构成，描述世界坐标系到相机坐标系的刚体变换：
$$ \begin{bmatrix} X_c \ Y_c \ Z_c \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & T \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \ Y_w \ Z_w \ 1 \end{bmatrix}
$$
2.3 畸变模型
径向畸变：由透镜曲率引起，公式为：
x
c
o
r
r
e
c
t
e
d
=
x
(
1
+
k
1
r
2
+
k
2
r
4
+
k
3
r
6
)
x_{corrected} = x(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)
xcorrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6) 其中
r
2
=
x
2
+
y
2
r^2 = x^2 + y^2
r2=x2+y2，
k
1
,
k
2
,
k
3
k_1, k_2, k_3
k1,k2,k3为径向畸变系数。
切向畸变：由镜头与传感器安装误差导致，公式为：
$$ x_{corrected} = x + [2p_1 xy + p_2 (r^2 + 2x^2)] \ y_{corrected} = y + [p_1 (r^2 + 2y^2) + 2p_2 xy]
$$
三、主流标定方法分类
3.1 传统标定方法
（1）基于标定物的方法
棋盘格标定法（张正友标定法）： 使用已知尺寸的棋盘格标定板，通过多角度拍摄图像，提取角点并求解单应性矩阵，结合最小二乘法优化内外参数。此方法精度高、操作简便，是工业界主流。 步骤：
拍摄多幅棋盘格图像（通常需15-20张）。检测角点并亚像素优化。利用线性最小二乘解算初始参数。通过Levenberg-Marquardt算法非线性优化，最小化重投影误差。 圆形标定板： 利用圆形标记点，适用于高精度场景（如医疗影像），但对离焦敏感。
（2）主动视觉标定法
通过控制相机进行特定运动（如平移、旋转），利用运动轨迹约束求解参数。优点是不需标定物，但依赖高精度运动平台。
3.2 自标定方法
基于场景约束：利用自然场景中的平行线、消失点等几何特征推导参数，适用于无法放置标定物的场合（如户外SLAM）。基于深度学习：使用神经网络直接从图像回归参数，无需显式建模，但需大量标注数据。
3.3 零失真相机标定
通过LCD显示屏生成相移光栅，建立像素级映射关系，适用于广角镜头和复杂畸变矫正，精度可达亚像素级。
四、标定流程与技术细节
4.1 标定板设计与图像采集
标定板要求：
棋盘格需黑白交替，角点清晰；圆形标定板需高对比度。材质需平整（如陶瓷或玻璃），避免反光。 拍摄策略：
覆盖相机视场不同区域（中心、边缘、倾斜角度）。避免运动模糊和过曝，光照均匀。
4.2 角点检测与优化
Harris角点检测：快速定位棋盘格交点。亚像素细化：通过梯度迭代将角点精度提升至0.1像素以内。
4.3 参数计算与优化
单应性矩阵求解： 对每幅图像，建立世界坐标与像素坐标的投影关系：
$$ s \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} = K [R | T] \begin{bmatrix} X_w \ Y_w \ 0 \ 1 \end{bmatrix}
$$ 通过SVD分解求解初始参数。
非线性优化： 目标函数为最小化重投影误差：
min
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
∥
p
i
j
−
p
^
(
K
,
R
i
,
T
i
,
P
j
)
∥
2
\min \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \| p_{ij} - \hat{p}(K, R_i, T_i, P_j) \|^2
mini=1∑nj=1∑m∥pij−p^(K,Ri,Ti,Pj)∥2 其中，
p
i
j
p_{ij}
pij为实际角点坐标，
p
^
\hat{p}
p^为投影坐标。
五、误差分析与精度提升
5.1 误差来源
机械误差：标定板平整度、相机运动平台精度。标定算法误差：角点检测偏差、优化陷入局部最优。环境因素：温度变化引起镜头形变、光照不均匀。
5.2 精度评估指标
重投影误差（Reprojection Error）： 计算标定后角点的投影位置与实际检测位置的均方根误差（RMSE），理想值应小于0.5像素。
5.3 优化策略
多帧融合：增加标定图像数量（>20张），覆盖更多视角。高分辨率标定板：使用微米级加工标定板，减少制作误差。混合标定法：结合传统标定与自标定，提升复杂场景鲁棒性。
六、应用场景与挑战
6.1 工业检测
尺寸测量：标定后系统可精确计算工件长度、孔径等。缺陷检测：结合形状匹配算法，识别表面划痕、缺料等。
6.2 自动驾驶与机器人
SLAM（同步定位与建图）：标定提供多传感器数据融合基础。手眼标定：确定机械臂末端与相机的相对位姿。
6.3 医疗影像
内窥镜标定：矫正广角镜头畸变，辅助手术导航。
6.4 挑战与未来方向
动态环境适应：温度、振动导致的参数漂移仍需在线标定技术。深度学习融合：基于神经网络的端到端标定可减少人工干预，但需解决数据依赖性问题。多模态标定：激光雷达、ToF相机与RGB相机的联合标定需求日益增长。
七、最后
相机标定作为机器视觉的基石，其精度直接影响整个系统的可靠性。传统方法如张正友标定法已成熟应用于工业场景，而自标定与深度学习技术正推动其在复杂环境中的普及。未来，随着高精度传感器与智能算法的进步，标定技术将向自动化、实时化、多模态融合方向持续演进，为智能制造、自动驾驶、医疗诊断等领域提供更强大的支持。