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更多資訊：二次方程 § 一元二次方程
一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。
例如，
x
2
−
3
x
+
2
=
2
{\displaystyle x^{2}-3x+2=2}
，
(
3
−
2
i
)
x
2
+
23
−
6
i
π
x
−
sin
2
=
0
{\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}
，
t
2
−
3
=
0
{\displaystyle t^{2}-3=0}
等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}
其中，
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}}
是二次項，
b
x
{\displaystyle bx}
是一次項，
c
{\displaystyle c}
是常數項。
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
是一個重要條件，否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程之後，
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
也可以省略不寫。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。
歷史[編輯]
古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。
11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方根。
將其轉化為數學語言：解關於
x
{\displaystyle x}
的方程
a
x
2
+
b
x
=
−
c
{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即[1]
4
a
{\displaystyle 4a}
，得
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
=
−
4
a
c
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}
在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即
b
2
{\displaystyle b^{2}}
，得
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
=
−
4
a
c
+
b
2
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}
然後在方程的兩邊同時開二次方根，得
2
a
x
+
b
=
±
−
4
a
c
+
b
2
2
{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}
解法[編輯]
阿貝爾指出，任意一元二次方程都可以根據
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c}
三個係數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。
一般來說，一元二次方程有兩個根。
因式分解法[編輯]
把一個關於
x
{\displaystyle x}
一元二次方程變形成一般形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
後，如果
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。
將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。
如果一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
存在兩個實根
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
，那麼它可以因式分解為
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
0
{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}
。
例如，解一元二次方程
x
2
−
3
x
+
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x+2=0}
時，可將原方程左邊分解成
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}
，所以
x
−
1
=
0
x
−
2
=
0
{\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}
，可解得
x
1
=
1
x
2
=
2
{\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}
公式解法[編輯]
對於
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}
，若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}
，則它的兩個不等實數根可以表示為
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
,
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}
，則它的兩個相等實數根可以表示為
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}
，則它的兩個共軛複數根可以表示為
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
。
公式解的證明[編輯]
公式解可以由配方法得出。
已知關於
x
{\displaystyle x}
的一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0}
①移項，得：
a
x
2
+
b
x
=
−
c
{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}
；
②二次項係數化為
1
{\displaystyle 1}
，得：
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}
；
③配方，得：
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}}
，
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
；
因為
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
，所以
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}
，則它的兩個不等實數根可以表示為
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
,
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}
，則它的兩個相等實數根可以表示為
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}
，則它的兩個共軛複數根可以表示為
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
。
一般化[編輯]
一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。
公式中的根式
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}
應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
的數當中任何一個」。在某些數域中，有些數值沒有平方根。
根的判別式[編輯]
對於實係數一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}
，
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：
如果
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
，則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果係數都為有理數，且
Δ
{\displaystyle \Delta }
是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。
如果
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}
如果
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
，則這個一元二次方程有兩個不等的複數根，兩根互為共軛複數。這時兩根分別為
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
，其中
i
=
−
1
{\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}}
。
非實係數一元二次方程[編輯]
即係數為非實數時的一元二次方程，將係數擴展到複數域內，此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程。
一元二次方程的根與係數的關係[編輯]
根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與係數的關係。
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
+
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
2
b
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
⋅
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
⋅
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
=
4
a
c
4
a
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}
圖像解法[編輯]
Δ
>
0
{\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}
，則該函數與x軸相交（有兩個交點）
Δ
=
0
{\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}
，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）
Δ
<
0
{\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}
，則該函數與x軸相離（沒有交點）
一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根的幾何意義是二次函數
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
的圖像（為一條拋物線）與
x
{\displaystyle x}
軸交點的坐標，即二次函數的零點。
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的解是
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
和
y
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}
交點的X座標
另外一種解法是把一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
化為
x
2
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}
的形式。
則方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根，就是函數
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
和
y
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}
交點的橫坐標。
通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。
計算機法[編輯]
在使用計算機解一元二次方程時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據以下公式去解
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)
參見[編輯]
方程
三次方程
和平方
差平方
平方差
配方法
二次無理數
參考資料[編輯]
^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. （原始內容存檔於2006-02-08） （英語）.
外部連結[編輯]
101 uses of a quadratic equation: Part I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Part II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）